「网络流 24 题」方格取数 最大点权独立集

在一个有 $ m \times n $ 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。
现要从方格中取数，使任意 $ 2 $ 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。

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题目链接

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概念

点覆盖集：无向图G的一个点集，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。

点独立集：无向图G的一个点集，使得任两个在该集合中的点在原图中都不相邻。

最小点权覆盖集：点覆盖集中权值和最小的。

最大点权独立集：点独立集中权值和最大的。

最小点权覆盖集=最大流=最小割

最大点权独立集=权值和-最小点权覆盖集

题解

• 问题求的是最大点权独立集。
• 最大点权独立集=权值和-最小点权覆盖集，可以理解为只有取出了最小点权覆盖集使得任意一条边都被选取，剩下的点即为最大点权独立集。
• 求最大流即可
• 又写错了点转化为值，正确：$(i-1)m+j$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 10100;
const int INF=1e9+7;
const int xx[14]={-1, 1,0,0};
const int yx[14]={0,0,1,-1};
int n, m , mp[maxn][maxn];
ll sum;
int id(int i, int j){
    return (i-1)*m+j;
}


// Dinic(最大流算法)

struct Edge
{
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u,int v,int c,int f):from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};


struct Dinic
{
    int n, m, s, t;       // 节点数,边数(包括反向弧),源点编号和汇点编号
    vector<Edge> edges;   // 边数。edges[e]和edges[e^1]互为反向弧
    vector<int> G[maxn];  // 邻接表，G[i][j]表示节点i的第j条边在e数组的序号
    bool vis[maxn];       // BFS使用
    int d[maxn];          // 从起点到i的距离
    int cur[maxn];        // 当前弧下标

    void init()
    {
        for(int i=0; i<=n; i++)
            G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void Addedge(int from, int to, int cap)
    {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        queue<int>Q;
        Q.push(s);
        d[s]=0;
        vis[s]=1;
        while(!Q.empty())
        {
            int x=Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=0; i<G[x].size(); i++)
            {
                Edge& e=edges[G[x][i]];
                if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow) //只考虑残量网络中的弧
                {
                    vis[e.to]=1;
                    d[e.to]=d[x]+1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if(x==t || a==0) return a;
        int flow=0, f;
        for(int& i=cur[x]; i<G[x].size(); i++) // 从上次考虑的弧
        {
            Edge& e=edges[G[x][i]];
            if(d[x]+1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow)))>0)
            {
                e.flow+=f;
                edges[G[x][i]^1].flow-=f;
                flow+=f;
                a-=f;
                if(a==0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Maxflow(int s,int t)
    {
        this->s=s; this->t=t;
        int flow=0;
        while(BFS())
        {
            memset(cur, 0, sizeof(cur));
            flow += DFS(s,INF);
        }
        return flow;
    }
};


 Dinic now;
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF)
    {
     sum=0;
     now.n=50*50+30;
     now.init();
    int st=0,ed=n*m+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d", &mp[i][j]);
            sum+=mp[i][j];
            if((i+j)%2)
            {
                int nowid=id(i, j);
                now.Addedge(st,nowid,mp[i][j]);
                for(int k=0;k<4;k++)
                {
                    int x=i+xx[k];
                    int y=j+yx[k];
                    if(x>=1 && x<=n &&y>=1&&y<=m)
                    {
                        int toid=id(x,y);
                        now.Addedge(nowid, toid, INF);
                    }
                }
            }
            else
            {
                int nowid=id(i, j);
                now.Addedge(nowid,ed,mp[i][j]);
            }
        }
    }
    int ans=sum-now.Maxflow(st,ed);
    printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 10100;
const int INF=1e9+7;
const int xx[14]={-1, 1,0,0};
const int yx[14]={0,0,1,-1};
int n, m , mp[maxn][maxn];
ll sum;
int id(int i, int j){
    return (i-1)*m+j;
}


// Dinic(最大流算法)

struct Edge
{
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u,int v,int c,int f):from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};


struct Dinic
{
    int n, m, s, t;       // 节点数,边数(包括反向弧),源点编号和汇点编号
    vector<Edge> edges;   // 边数。edges[e]和edges[e^1]互为反向弧
    vector<int> G[maxn];  // 邻接表，G[i][j]表示节点i的第j条边在e数组的序号
    bool vis[maxn];       // BFS使用
    int d[maxn];          // 从起点到i的距离
    int cur[maxn];        // 当前弧下标

    void init()
    {
        for(int i=0; i<=n; i++)
            G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void Addedge(int from, int to, int cap)
    {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        queue<int>Q;
        Q.push(s);
        d[s]=0;
        vis[s]=1;
        while(!Q.empty())
        {
            int x=Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=0; i<G[x].size(); i++)
            {
                Edge& e=edges[G[x][i]];
                if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow) //只考虑残量网络中的弧
                {
                    vis[e.to]=1;
                    d[e.to]=d[x]+1;
                    Q.push(e.to);
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if(x==t || a==0) return a;
        int flow=0, f;
        for(int& i=cur[x]; i<G[x].size(); i++) // 从上次考虑的弧
        {
            Edge& e=edges[G[x][i]];
            if(d[x]+1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow)))>0)
            {
                e.flow+=f;
                edges[G[x][i]^1].flow-=f;
                flow+=f;
                a-=f;
                if(a==0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Maxflow(int s,int t)
    {
        this->s=s; this->t=t;
        int flow=0;
        while(BFS())
        {
            memset(cur, 0, sizeof(cur));
            flow += DFS(s,INF);
        }
        return flow;
    }
};


 Dinic now;
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF)
    {
     sum=0;
     now.n=50*50+30;
     now.init();
    int st=0,ed=n*m+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d", &mp[i][j]);
            sum+=mp[i][j];
            if((i+j)%2)
            {
                int nowid=id(i, j);
                now.Addedge(st,nowid,mp[i][j]);
                for(int k=0;k<4;k++)
                {
                    int x=i+xx[k];
                    int y=j+yx[k];
                    if(x>=1 && x<=n &&y>=1&&y<=m)
                    {
                        int toid=id(x,y);
                        now.Addedge(nowid, toid, INF);
                    }
                }
            }
            else
            {
                int nowid=id(i, j);
                now.Addedge(nowid,ed,mp[i][j]);
            }
        }
    }
    int ans=sum-now.Maxflow(st,ed);
    printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}